Paradoxo de Russell
Em 1901, Russell tomou conhecimento do trabalho desenvolvido por Frege em "Grundgesetze der Arithmetik". Mas apenas em 1902 teve oportunidade de o analisar detalhadamente e de "fazer um estudo mais rigoroso", como refere na carta que mais tarde enviou a Gottlob Frege. Nesta obra, Frege tentava reduzir a aritmética à lógica e Russell, ao analisá-la, descobre uma contradição no sistema proposto. Como escreve:
"Há apenas um ponto onde encontrei uma dificuldade. O colega diz que uma função também pode actuar como elemento indeterminado. Eu acreditava nisto, mas agora esta perspectiva parece-me duvidosa pela seguinte contradição. Seja w o predicado: para ser predicado, não pode ser predicado de si próprio. Pode w ser predicado de si próprio?"
[Carta enviada por Russell a Frege, 16 de Junho de 1902]
Usando linguagem matemática actual, o paradoxo toma a seguinte forma:
Considere-se o conjunto M como sendo "o conjunto de todos os conjuntos que não se contêm a si próprios como membros". Formalmente: A é elemento de M se e só se A não é elemento de A.
Será que M se contém a si mesmo? Se sim, não é membro de M de acordo com a definição.Por outro lado, supondo que M não se contém a si mesmo, tem de ser membro de M, de acordo com a definição de M. Assim, as afirmações "M é membro de M" e "M não é membro de M" conduzem ambas a contradições.
Após ter descoberto o paradoxo, Russell decide comunicar a Frege o sucedido através de uma carta. Quando recebeu a dita carta, o seguundo volume dos Grundgesetze estava quase a ser publicado. Frege viu, desse modo, grande parte do seu trabalho perdido. Consciente das dificuldades que o paradoxo lhe trazia, Frege acrescentou um apêndice ao livro como resposta a esta descoberta de Russell no qual não pode deixar de expressar uma enorme consternação:
"Um cientista dificilmente se pode deparar com algo tão indesejável como o de ver os fundamentos ruírem exactamente quando o seu trabalho está terminado. Fui colocado nesta posição por uma carta do Sr. Bertrand Russell, quando o trabalho já estava quase todo impresso."
Em resultado do paradoxo, Frege viu-se obrigado a abandonar muitos dos seus pontos de vista. Russell, que entretanto publica "The Principles of Mathematics", acrescenta também ao seu livro um apêndice onde explica em detalhe o paradoxo.
Este paradoxo possui uma versão mais popular intitulada O Paradoxo do Barbeiro.
O paradoxo considera uma aldeia onde um barbeiro faz a barba todos os dias a todos os hoomens que não se barbeiam a si próprios, e a mais ninguém. Ora tal aldeia não pode existir:
"Há apenas um ponto onde encontrei uma dificuldade. O colega diz que uma função também pode actuar como elemento indeterminado. Eu acreditava nisto, mas agora esta perspectiva parece-me duvidosa pela seguinte contradição. Seja w o predicado: para ser predicado, não pode ser predicado de si próprio. Pode w ser predicado de si próprio?"
[Carta enviada por Russell a Frege, 16 de Junho de 1902]
Usando linguagem matemática actual, o paradoxo toma a seguinte forma:
Considere-se o conjunto M como sendo "o conjunto de todos os conjuntos que não se contêm a si próprios como membros". Formalmente: A é elemento de M se e só se A não é elemento de A.
Será que M se contém a si mesmo? Se sim, não é membro de M de acordo com a definição.Por outro lado, supondo que M não se contém a si mesmo, tem de ser membro de M, de acordo com a definição de M. Assim, as afirmações "M é membro de M" e "M não é membro de M" conduzem ambas a contradições.
Após ter descoberto o paradoxo, Russell decide comunicar a Frege o sucedido através de uma carta. Quando recebeu a dita carta, o seguundo volume dos Grundgesetze estava quase a ser publicado. Frege viu, desse modo, grande parte do seu trabalho perdido. Consciente das dificuldades que o paradoxo lhe trazia, Frege acrescentou um apêndice ao livro como resposta a esta descoberta de Russell no qual não pode deixar de expressar uma enorme consternação:
"Um cientista dificilmente se pode deparar com algo tão indesejável como o de ver os fundamentos ruírem exactamente quando o seu trabalho está terminado. Fui colocado nesta posição por uma carta do Sr. Bertrand Russell, quando o trabalho já estava quase todo impresso."
Em resultado do paradoxo, Frege viu-se obrigado a abandonar muitos dos seus pontos de vista. Russell, que entretanto publica "The Principles of Mathematics", acrescenta também ao seu livro um apêndice onde explica em detalhe o paradoxo.
Este paradoxo possui uma versão mais popular intitulada O Paradoxo do Barbeiro.
O paradoxo considera uma aldeia onde um barbeiro faz a barba todos os dias a todos os hoomens que não se barbeiam a si próprios, e a mais ninguém. Ora tal aldeia não pode existir:
- Se o barbeiro não se barbeia a si mesmo, então terá de fazer a barba a si mesmo.
- Se ele se barbear a si mesmo, de acordo com a regra ele não se poderá barbear a si mesmo.
posted by Bruno at 21:00
1 Comments:
É um Paradoxo muito interessante! Eu frequentemente, nos calculos de engenharia que faço, chego a uma data de paradoxos (lol), por isso passei a valorizar os que de facto têm piada!
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